وفق مربعات وطریقه تکمیل

وفق مربعات وطریقه تکمیل

وفق:عبارتست از حاصل جمع اعداد هر ضلعي از شكل مثلّث و مربّع و مخمّس و غيره.

وجه تسميه وفق اين است كه چون خانه هاي اشكال را با قواعد مقرّره پر كرده و اعداد را هر كدام در خانه خود نوشته باشند، از هر ضلع و هر سمت كه حساب كني حاصل جمع موافق و برابر باشد.

مقصود از مثلّث در اين علم، سطح سه ضلعي معروف نيست بلكه مقصود شكل سه اندر سه است، كه سطح چهار گوشه اي را طولاً و عرضاً به سه خانه يعني سه مربع كوچكتر، و جمعاً به 9 خانه تقسيم كرده باشند.

و همچنين مقصود از مربع، لوح چهار اندر چهار است كه سطح چهار گوشة بزرگ، به شانزده چهار گوشه كوچك تر خانه بندي شده باشد.- و مخمس لوح پنج در پنج است مشتمل بر 25 خانه، و بر اين قياس مسدّس و مسبّع، تا لوح صد اندر صد كه از الواح بسيار مهمّ اعداد است و قواعد بسيار دقيق در آن به كار     مي رود.

زكات:در اصطلاح اين علم عبارتست از عددي معيّن در هر شكل كه براي پر كردن خانه ها به طريق اوفاق، نخست آن عدد را از عدد مفروض كم كنند و باقي قواعد را در باقيمانده به جاي آورند.- مثلاً زكات مثلّث عدد 12 است، و زكات مربّع 30، و مخمّس را 60.

قاعده كلي وفق و زكات اين است كه بايد در شكل مقصود، عدد اوّل يعني واحد را با عدد مجموع خانه ها جمع و حاصل را در نصف عدد خانه ها ضرب كنند – يا حاصل جمع را در عدد بزرگتر ضرب و حاصل ضرب را تنصيف كنند.

مثلاً اگر بخواهيم حاصل جمع اعداد ترتيبي را از يك تا ده بدانيم مي گوييم [55= 5* 10+ 1].- يعني اگر اعداد را از يك تا ده زير هم بنويسيم و جمع كنيم حاصل 55 مي شود.

از روي اين قاعده در مثلّث كه عدد خانه هاي آن 9 است مي گوييم [45=5/4*9+1]- پس مجموع اعداد طبيعي ترتيبي خانه هاي شكل سه اندر سه 45   مي شود.

در مربع گوييم[136+8*16+1]- پس مجموع اعداد طبيعي مربّع 136 باشد، و همچنين در شكل پنج در پنج كه عدد خانه هاي آن 25 باشد مجموع اعداد طبيعي 325 است [325=5/12*25+1].

چون حاصل جمع اعداد طبيعي شكل مقصود معلوم شد، قاعده اين است كه آن را بر عدد سطور شكل تقسيم كنيم خارج قسمت را وفق آن شكل مي گويند- و چون عدد سطور را از وفق تفريق كنيم زكات شكل به دست مي آيد.

مثلاً در مثلّث عدد 45 را بر 3 كه عدد سطور سه اندر سه است بخش كرديم، خارج قسمت 15 شد[15=3: 45]- پس گوييم وفق مثلّث 15 است- آنگاه عدد سه را از وفق كم كرديم حاصل 12 شد[12=3-15] گوييم زكات لوح سه اندر سه 12 است.

و در شكل چهار كه عدد سطورش 4 باشد گوييم: [34=4: 136] پس وفق مربع 34 است- باز گوييم [30=4-34] پس زكوة مربع 30 باشد.- و همچنين در لوح پنج در پنج گوييم [65=5: 325] و [60=5-65] بدين سبب وفق مخمّس را 65 و زكوة آن را 60 تعيين مي كنيم.

در شكل صد اندر صد كه بدان اهميّت بسيار مي دهند چون ضلعش 100 و خانة آخر يعني مجموع خانه هاي آن ده هزار است(10000)، مطابق قاعده مزبور حاصل جمع اعداد ترتيبي از يك تا ده هزار مي شود پنجاه ميليون و پنج هزار كه حاصل ضرب ده هزار و يك، در پنج هزار است[50005000=5000*10000+1] – و چون آن را بر عدد 100 كه عده سطور آن شكل است تقسيم، يا دو صفر آخر آن را حذف كني پانصد هزار و پنجاه(500050) مي شود كه وفق لوح صد اندر صد است- و چون 100 را كه عدد سطور شكل است از آن كم كني باقيمانه (499950) زكوة صد اندر صد است و در پر كردن اين لوح بايد آن را به مربعات تحويل كنند.

پر كردن لوح عبارتست از نوشتن عدد مفروض در خانه هاي شكل به طريقي كه از هر طرف طولي و عرضي و قطري حساب كني وفق دهد و حاصل آن برابر باشد.- و براي اين كار قواعد دقيق فنّي داريم.- مثلاً در پر كردن مثلث قاعده اين است كه زكات مثلث يعني 12 را از عدد مفروض تفريق و باقي را بر ضلع مثلّث يعني 3 تقسيم كني، پس خارج قسمت را عيناً در خانة اوّل بنويسي و در خانه هاي بعد به ترتيب يكي يكي علاوه كني تا 9 خانه پرداخته شود.

هر گاه در تقسيم، باقيمانده داشته باشي، اگر باقيمانده يكي باشد آن را در خانة هفتم بياوري يعني در اين خانه نسبت به خانة ششم دو عدد علاوه كني- و هر گاه باقيمانده دو تا باشد در خانة پنجم يكي بر عدد طبيعي بيفزايي يعني نسبت به خانة چهارم دو عدد علاوه كني.

بعضي كسر 2 را در خانة هفتم مي آورند به اين طريق كه در اين خانه نسبت به خانه ششم سه عدد مي افزايند.

در شكل مربع هم قاعده اين است كه زكات 30 را از عدد مفروض تفريق و باقي را بر ضلع مربع يعني 4 قسمت كني و خارج قسمت را در خانة اول بنويسي و همچنان يكي يكي در خانه هاي بعد علاوه كني- و اگر كسر باقيمانده داشته باشي، يكي را در خانه 13 بياوري و آن را نسبت به خانة 12 دو تا علاوه كني- و كسر 2 را در خانة 9 هم يكي بر عدد طبيعي بيفزايي كه اين خانه از خانة هشتم دو عدد علاوه داشته باشد- و كسر 3 را در خانة 5 هم يكي علاوه كني كه از خانة چهارم دو تا بيشتر باشد.

در مخمس قاعدة معروف اين است كه از عدد مفروض زكات را تفريق و باقي را بر 5 كه ضلع اين شكل است تقسيم كنند و خارج قسمت را در خانه اوّل بنويسند و همچنان به طريق طبيعي بر ولاء خانه ها را پر كنند. و كس يك تا چهار همه را در خانه بيست و يكم علاوه كنند امّا به اين ترتيب كه كسر يك را يكي و دوتا را 2 و سه را 3 و چهار را 4 بر عدد طبيعي آن خانه بيفزايند.

ترتيب طبيعي خانه ها را كه به اصطلاح (ولاء) گويند در سه شكل مثلث و مربع و مخمس اين است: 

(حبیب هو)

                                                              شکل مثلث                                                            

                                                             شکل مربع

                                                          شکل مخمّس